Question

給出下列四個命題：
①若x＞0，且x≠1則lgx+

1

lgx

≥2；
②設x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的否命題是真命題；
③函數y=cos（2x-

π

3

）的一條對稱軸是直線x=

5

12

π；
④若定義在R上的函數y=f（x）是奇函數，則對定義域內的任意x必有f（2x+1）+f（-2x-1）=0．
其中，所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：求出當0＜x＜1時lgx+

1

lgx

的范圍判斷①；判斷原命題的逆命題的真假，從而得到原命題的否命題的真假判斷②；把x=

5

12

π代入函數y=cos（2x-

π

3

）求得函數值判斷③；
由奇函數的概念結合自變量的任意性判斷④．

解答： 解：對于①，當0＜x＜1時，lgx＜0，則lgx+

1

lgx

≤-2，命題①錯誤；
對于②，設x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的逆命題為“若x²+y²=0，則xy=0”，為真命題，則其否命題也為真命題，命題②是真命題；
對于③，∵cos(2×

5π

12

-

π

3

)=cos

π

2

=0，∴函數y=cos（2x-

π

3

）的一條對稱軸是直線x=

5

12

π為假命題；
對于④，若定義在R上的函數y=f（x）是奇函數，則對定義域內的任意x必有f（x）+f（-x）=0，取x為2x+1，則f（2x+1）+f（-2x-1）=0，命題④正確．
故答案為：②④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數的性質，對于④的周期理解是解答該題的關鍵，是基礎題．