Question

已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx(a,b∈R)的圖象過點P(1,f(1)),且在點P處的切線的方程為y=8x-6.

(1)求a,b的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)求函數(shù)f(sinx)的最值.

Answer 1

解:(1)∵點P在切線上,∴f(1)=2.∴a+b=1.      ①

又函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8,∴f′(1)=8.又f′(x)=3x²+2ax+b,

∴2a+b=5.      ②

解由①②組成的方程組,可得a=4,b=-3.

(2)由(1)得f′(x)=3x²+8x-3,令f′(x)＞0,可得x＜-3或x＞;令f′(x)＜0,可得-3＜x＜.

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-3),(,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-3,).

(3)設(shè)sinx=t,則問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(t)(-1≤t≤1)的最值.

由(2)可知f(t)在(-1, )上是減函數(shù),在(,1)上是增函數(shù).

∴f(t)的最小值為f()=+-1=.

又f(-1)=6,f(1)=2,∴f(t)的最大值為f(-1)=6.

∴函數(shù)f(sinx)的最小值為,最大值為6.