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老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為
OP
=
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)
．（用O，A，B，C四個點所構成的向量和角A，B，C的三角函數以及λ表示）
分析：由題意可得：
BC
•（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=0，即 
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直，設D為BC的中點，則
OB
+
OC
2
=
OD
，可得λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
DP
，即可得到
BC
•
DP
=0，進而得到點P在BC的垂直平分線上，即可得到答案．
解答：解：由題意可得：
BC
•（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=-|
BC
|+|
BC
|=0
∴
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直
設D為BC的中點，則
OB
+
OC
2
=
OD
，
所以
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，即
OP
=
OD
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，
所以λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
DP
，
因為
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直
所以
BC
•
DP
=0，
又∵點D為BC的中點，
∴點P在BC的垂直平分線上，即P的軌跡會通過△ABC的外心．
故答案為：
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)．
點評：本題主要借助于類比推理重點考查了平面向量的加減法運算與數量積運算，并且也考查了三角形的五心等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為
OP
=______．（用O，A，B，C四個點所構成的向量和角A，B，C的三角函數以及λ表示）

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老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為=    ．（用O，A，B，C四個點所構成的向量和角A，B，C的三角函數以及λ表示）

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老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為=    ．（用O，A，B，C四個點所構成的向量和角A，B，C的三角函數以及λ表示）

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