Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的任意一點，滿足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長為12，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的最大值和最小值；
（Ⅲ）已知點A（8，0），B（2，0），是否存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設2a=8，2a+2c=12，
則a=4，c=2，b²=12，
所以橢圓的方程是；
（Ⅱ）易知F₁=（-2，0），F₂（2，0），
設P（x，y），
則
，
因為x∈[-4，4]，所以x²∈[0，16]，8≤≤12，
點P為橢圓短軸端點時，有最小值8；
點P為橢圓長軸端點時，有最大值12。
（Ⅲ）當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所以若直線l存在，則直線l的斜率也存在，
設直線l的斜率為k．則直線l的方程為y=k（x-8），
由方程組，
則，
設交點C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD的中點為T（x₀，y₂），
則，
，
因為|BC|=|BD|，則BT⊥CD，，
于是，
方程無解，所以不存在滿足題目要求的直線l。