Question

（2013•煙臺一模）若點P是以A(-

10

，0)、B(

10

，0)為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線與圓x²+y²=10的一個交點，則|PA|+|PB|的值為（　　）

• A．2

  2

• B．4

  2

• C．4

  3

• D．6

  2

Answer 1

分析：根據雙曲線的焦點與實軸長，算出雙曲線方程為

x2

2

-

y2

8

=1．設P（m，n）是雙曲線與圓x²+y²=10在第一象限的一個交點，由雙曲線方程與圓方程聯解算出P（

3

5

10

，

4

5

10

），再由兩點間的距離公式分別算出|PA|、|PB|的長，即可得到|PA|+|PB|的值．

解答：解：∵雙曲線以A(-

10

，0)、B(

10

，0)為焦點，實軸長為2

2

，
∴2a=2

2

，且c²=a²+b²=10，可得a²=2，b²=8，
因此，雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

8

=1．
設P（m，n）是雙曲線與圓x²+y²=10在第一象限的一個交點，
由

m2 2 - n2 8 =1 m2+n2=10

，解之得m=

3

5

10

，n=

4

5

10

，得P（

3

5

10

，

4

5

10

）
因此，|PA|=

( 3 5 10 + 10 )2+( 4 5 10 )2

=4

2

，|PB|=

(- 3 5 10 + 10 )2+( 4 5 10 )2

=2

2

∴|PA|+|PB|=6

2

故選：D

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的方程并求該雙曲線與圓x²+y²=10的交點P到雙曲線兩個焦點的距離和．著重考查了雙曲線的定義與標準方程、圓與雙曲線的位置關系和坐標系內兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．