Question

已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.

（1）求證：⊥；

（2）若四邊形ABCD是矩形，試確定點C的坐標并求該矩形的兩對角線所成的銳角的余弦值.

Answer 1

思路分析：本題主要考查向量垂直的等價條件及夾角公式.要證明⊥，只需證·=0.在⊥的前提下，只要找點C使=.

(1)證明：∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴=(1,1),=(-3,3),

又·=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥.

(2)解：∵四邊形ABCD為矩形且AB⊥AD，

∴=.

設點C的坐標為（x,y）,

則（-3，3）=（x-3,y-2）,

∴∴

∴點C坐標為（0,5）.

又∵=（-2，4），=（-4，2），

∴·=（-2）×(-4)+4×2=16,

而||=，

||=.

設與的夾角為θ，則

cosθ=.

∴該矩形兩對角線所成銳角的余弦值為.

溫馨提示

(1)注意區分兩向量平行與垂直的條件.

(2)向量的運算可以用坐標表示，向量中的位置關系（平行和垂直）也可用坐標表示，向量中的度量（模長和夾角）也可用坐標表示，而且使用起來非常方便，所以同學們要熟練掌握利用坐標法解決有關問題.