Question

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=ax²-x（a∈R）
（1）求f（x）的單調區間和極值點；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的實數a的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln（eⁿ+1）＜n+

1

en

恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），f′（x）＜0，f′（x）＞0可得單調區間及極值點；
（2）問題轉化為ax≥lnx+1恒成立，令h（x）=ax-lnx-1，分a≤0，a＞0兩種情況討論，利用導數求出函數h（x）的最小值即可；
（3）令eⁿ=t≥e，即證明ln（t+1）＜lnt+

1

t

，即證ln(1+

1

t

)＜

1

t

，可證lnx＜x-1，借助（2）問結論可證；

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=

1

e

，
當x∈(0，

1

e

)時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，

1

e

）上遞減，
當x∈(

1

e

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）在（

1

e

，+∞）上遞增，
綜上f（x）在（0，

1

e

）上遞減，在（

1

e

，+∞）上 遞增，f（x）的極小值點為x=

1

e

．
（2）問題轉化為ax≥lnx+1恒成立，
令h（x）=ax-lnx-1，則h′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
（ⅰ）當a≤0時，h′（x）＜0，h（x）在x＞0時單調遞減，h（x）無最小值，舍去；
（ⅱ）當a＞0時，令h′（x）=0，得x=

1

a

，
且0＜x＜

1

a

時，h′（x）＜0，h（x）遞減；x≥

1

a

，h′（x）≥0，h（x）遞增，
故h(x)min=h(

1

a

)=lna，只須lna≥0，即a≥1；
（3）要證明ln（eⁿ+1）＜n+

1

en

，
令eⁿ=t≥e，即證明ln（t+1）＜lnt+

1

t

，即證明ln(

t+1

t

)＜

1

t

，即證ln(1+

1

t

)＜

1

t

，
即證lnx＜x-1，
而由（2）可知a=1時，xlnx≤x²-x，
當x＞1時，lnx＜x-1，
故ln（eⁿ+1）＜n+

1

en

是成立的，證畢．

點評：本題考查利用導數研究函數的最值、單調性及不等式的證明問題，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．