Question

如圖，制圖工程師要用兩個(gè)同中心的邊長(zhǎng)均為4的正方形合成一個(gè)八角形圖形．由對(duì)稱性，圖中8個(gè)三角形都是全等的三角形，設(shè)．

（1）試用表示的面積；
（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時(shí)的大小．

Answer 1

（1）,
（2）八角形所覆蓋面積的最大值為,

解析試題分析：探索性情景問(wèn)題中的條件探索型問(wèn)題，一般利用函數(shù)思想建模，由題意設(shè)出未知量，找到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，故對(duì)于（1）設(shè)出則，；由可得；對(duì)于（2）換元法是解題常用方法，可以減少許多不必要的運(yùn)算量，提高解題效率，注意換元前后的對(duì)等關(guān)系，令代入面積表達(dá)式可得：.
（1）設(shè)為,∴，
，
,，
（2）令，
只需考慮取到最大值的情況，即為， 
當(dāng), 即時(shí), 達(dá)到最大
此時(shí)八角形所覆蓋面積的最大值為．
考點(diǎn)：函數(shù)建模和函數(shù)最值.