Question

形如  的數陣稱為n階矩陣，有n²（n無窮大）個數以一定的規則排列，構成如下n階矩陣：

此表中，主對角線上的數依次為l，2，5，10，17，…，則主對角線上的第101個數為

10001

，數字2013在此表中共出現

4

次．

Answer 1

分析：（1）觀察主對角線上述列每一項都是前幾項的和，可發現a_n=（n-1）²+1，將各項代入驗證，可得遞推式．
（2）由編碼可得，第m行是首項為1，公差為m-1的等差數列，則第m行的第n個數為a_m=1+（n-1）（m-1），由此進行列舉，能求出數字2013在此表中出現的次數．

解答：解：設此表中主對角線上的第n個數為a_n，
∵此表中，主對角線上的數依次為l，2，5，10，17，…，
∴a₁=1=（1-1）²+1，
a₂=1+1=2=（2-1）²+1，
a₃=1+1+3=5=（3-1）²+1，
a₄=1+1+3+5=10=（4-1）²+1，
a₅=1+1+3+5+7=17=（5-1）²+1，
a₆=1+1+3+5+7+9=26=（6-1）²+1，
…
∴觀察主對角線上的數，發現a_n=（n-1）²+1，
∴主對角線上的第101個數
a₁₀₁=（101-1）²+1=10001．
（2）由編碼可得，第m行是首項為1，公差為m-1的等差數列，
則第m行的第n個數為a_m=1+（n-1）（m-1），
第一列都是1，所以不會出現2013，
第二列第2013行的數就是2013，
第三列中，n=3，計算公式為a_m=2（m-1）+1=2m-1，故可以出現2013．
第四列中，n=4，計算公式為a_m=3（m-1）+1=3m-2，故不可以出現2013．
第五列中，n=5，計算公式為a_m=4（m-1）+1=4m-3，2013=504×4-3，故可以出現2013．
第六列中，n=6，計算公式為a_m=5（m-1）+1=5m-4，2013=403×5-2，故不可以出現2013．
第七列中，n=7，計算公式為a_m=6（m-1）+1=6m-5，2013=6×336-3，故不可以出現2013．
第八列中，n=8，計算公式為a_m=7（m-1）+1=7m-6，故不可以出現2013．
第九列中，n=9，計算公式為a_m=8（m-1）+1=8m-7，故不可以出現2013．
第十列中，n=10，計算公式為a_m=10（m-1）+1=10m-9，故不可以出現2013．
…
∴數字2013在此表列中共出現3次．
同理，數字2013在此表的行中也出現3次．
故數字2013在此表列中共出現6次．
故答案為：10001，6．

點評：本題考查遞推公式的求解和應用，難度較大．解題時要認真審題，仔細解答．