Question

已知函數和函數g（x）=2^x-2^-x
（1）判斷的奇偶性，并判斷和證明y=lgh（x）在定義域上的單調性；
（2）若函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意h（x）===，代入檢驗h（-x）與h（x）的關系即可判斷函數的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
設0＜x₁＜x₂，則通過判斷h（x₁）-h（x₂）=的正負可先判斷h（x）在（0，+∞）上的單調性，然后根據復合函數的單調性即可
（2）由函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數可得h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，整理可得恒成立（t=），從而可求λ的范圍
解答：解：（1）f（x）==，
∵h（x）===
∴==-h（x）
∴函數h（x）為奇函數  
=由h（x）＞0可得x＞0
設0＜x₁＜x₂，則h（x₁）-h（x₂）==
∵0＜x₁＜x₂，則，
∴h（x₁）＞h（x₂），lgh（x₁）＞lgh（x₂）
∴y₁＞y₂
函數y=lgh（x）在（0，+∞）上遞減…（6分）
（2）∵函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數
∴
∴恒成立
∴λ≥1…（8分）
點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷及理由定義證明、判斷函數的單調性，及函數單調性的定義的應用，屬于函數知識的綜合應用，具有一定的綜合性．