Question

（文）數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=2a_n-1．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-1⇒S_n+1=2a_n+1-1，從而可得a_n+1=2a_n，而a₁=1，從而知{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，于是可得數列{a_n}的通項a_n；
（2）利用錯位相減法即可求得數列{na_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-1，
∴S_n+1=2a_n+1-1，
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n
即a_n+1=2a_n，
∵a₁=1，
∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴a_n=2^n-1；
（2）T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1①，
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②，
①-②得：-T_n=（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）-n×2ⁿ
=2ⁿ-1-n×2ⁿ
=-（n-1）2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比數列的判定與錯位相減法求和，屬于中檔題．