Question

一個直角三角形三邊的長成等比數列，則（ ）
A．三邊邊長之比為3：4：5
B．三邊邊長之比為1：：3
C．較小銳角的正弦為
D．較大銳角的正弦為

Answer 1

【答案】分析：由直角三角形的三邊成等比數列，公比為q，設三角形三邊分別為a，aq，aq²，根據勾股定理列出關系式，根據a大于0，化簡可得關于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，可求出三角形三邊之比，對選項A和B進行判斷；由三角形最大角為直角，設最小角為α，由最短的邊為a，最長的邊為aq²，利用正弦定理表示出sinα，將q²的值代入即可求出sinα的值，作出判斷；又三角形最大角為直角，其正弦值為1，故選項D錯誤．進而得到正確的選項．
解答：解：設直角三角形較短的直角邊為a（a＞0），公比為q，
由題意得：其它兩邊分別為aq，aq²，
根據勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=或q²=（舍去），
則q²的值為，
∴三邊長之比為a：aq：aq²=1：q：q²=1：：，
故選項A和B錯誤；
設最小內角為α，
根據正弦定理得：=，即sinα===，
則較小銳角的正弦值為，故選項C正確，
又最大角為直角，其正弦值為1，故選項D錯誤，
故選C
點評：此題考查了等比數列的性質，勾股定理，正弦定理，特殊角的三角函數值，以及一元二次方程的解法，熟練掌握等比數列的性質是解本題的關鍵．