Question

若A_n和B_n分別表示數列｛a_n｝和｛b_n｝的前n項和，對任意正整數n，a_n =-,4B_n-12A_n=13n.

 

(1)求數列{b_n}的通項公式；

 

(2)設有拋物線列c₁、c₂、…c_n、…，拋物線c_n(n∈N)的對稱軸平行于y軸，頂點為(a_n,b_n)，且通過點D_n(0，n²＋1），過點D_n且與拋物線c_n相切的直線斜率為k_n，求極限；

 

(3)設集合X=｛x｜x=2a_n,n∈N｝，Y=｛y｜y=4b_n,n∈N｝.若等差數列｛c_n｝的任一項c_n∈X∩Y, c₁是X∩Y中的最大數，且-265＜c₁₀＜－125，求｛c_n｝的通項公式.

Answer 1

①｛b_n｝的通項公式是b_n=-.

 

②設拋物線C_n的方程為y=a(x+)²-?

 

因為D_n(0，n²＋1)在此拋物線上，即得a=1，?

 

因此，C_n的方程為y= a(x+)²-.?

 

即：y=x²+(2n+3)x+n²+1?

 

∵y′=2x+(2n+3),?∴D_n處切線斜率k_n=2n+3

 

∴?

 

③對任意n∈N，2a_n=-3n-3    4b_n=-12n-5=-2(6n+1)-3∈X?

∴YX,故可得X∩Y=Y,?

 

∵C₁是X∩Y中的最大數，∴C₁=-17.?

 

設等差數列｛C_n｝的公差為d，則C₁₀=-17+9d

 

∵-265＜-17+9d＜-125得-27＜d＜-12?

 

∴d=-12m(m∈N)   ∴d=-24         ∴C_n=7-24n(n∈N).