Question

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F₁（-3，0），一條漸近線的方程是．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出雙曲線方程，根據焦點坐標及漸近線方程求出待定系數，即得雙曲線C的方程．
（2）設出直線l的方程，代入雙曲線C的方程，利用判別式及根與系數的關系求出MN的中點坐標，從而得到線段MN的垂直平分線方程，通過求出直平分線與坐標軸的交點，計算圍城的三角形面積，由判別式大于0，求得k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）解：設雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）．
由題設得，解得，所以雙曲線方程為．
（Ⅱ）解：設直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．
點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐標滿足方程組
將①式代入②式，得，整理得（5-4k²）x²-8kmx-4m²-20=0．
此方程有兩個一等實根，于是5-4k²≠0，且△=（-8km）²+4（5-4k²）（4m²+20）＞0．整理得m²+5-4k²＞0． ③
由根與系數的關系可知線段MN的中點坐標（x，y）滿足，．
從而線段MN的垂直平分線方程為．
此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為，．
由題設可得．
整理得，k≠0．
將上式代入③式得，整理得（4k²-5）（4k²-|k|-5）＞0，k≠0．
解得或．
所以k的取值范圍是．
點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．