Question

f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx，其中ω＞0，且f（x）的圖象在y軸右側第一個最高點的橫坐標為

π

6

，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）寫出f（x）的單調遞減區間（只寫結果不用寫出步驟）；
（Ⅲ）由y=sinx的圖象，經過怎樣的變換，可以得到f（x）的圖象？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，通過f（x）的圖象在y軸右側第一個最高點的橫坐標為

π

6

，求出ω，然后求f（x）的解析式；
（Ⅱ）直接通過正弦函數的單調減區間，寫出f（x）的單調遞減區間（只寫結果不用寫出步驟）；
（Ⅲ）由y=sinx的圖象，向左平移

π

3

個單位，縱坐標不變；再向上平移

3

2

個單位，橫坐標不變，就得到f（x）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）．f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx=

3

•

1+cos2ωx

2

+

1

2

sin2ωx（1分）
=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

（2分）
∵f（x）的圖象在y軸右側第一個最高點的橫坐標為

π

6

∴2•

π

6

ω+

π

3

=

π

2

，解得ω=

1

2

（3分）
∴f(x)=sin(x+

π

3

)+

3

2

（4分）
（Ⅱ）．f（x）的單減區間是(2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

)，k∈Z（8分）
（Ⅲ）將y=sinx向左平移

π

3

個單位，縱坐標不變；（10分）
再向上平移

3

2

個單位，橫坐標不變，就得到f（x）的圖象．（12分）．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，函數解析式的求法，函數圖象的平行，考查計算能力．