Question

（2013•廣州一模）設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是數列{log₂a_n}的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求T_n；
（3）求滿足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)＞

1010

2013

的最大正整數n的值．

Answer 1

分析：（1）將條件中的和關系式轉化為數列的項關系，判斷數列的特征，再求解；
（2）利用等差數列的前項n和公式求解即可；
（3）利用約分消項化簡左式，判斷n滿足的條件，分析求解即可．

解答：解：（1）∵當n≥2時，S_n+1+4S_n-1=5S_n，
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1）．∴a_n+1=4a_n．
∵a₁=2，a₂=8，∴a₂=4a₁．
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，公比為4的等比數列．
∴an=2•4n-1=22n-1．
（2）由（1）得：log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（3）(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)•…•(1-

1

Tn

)=(1-

1

22

)(1-

1

32

)•…•(1-

1

n2

)
=

22-1

22

•

32-1

32

•

42-1

42

•…•

n2-1

n2

=

1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)

22•32•42•…•n2

=

n+1

2n

．
令

n+1

2n

＞

1010

2013

，解得：n＜287

4

7

．
故滿足條件的最大正整數n的值為287．

點評：本題考查了等差數列的前n項和公式，數列的項與和之間的關系及數列的綜合問題．