Question

已知經過點A（-2，0），且以（λ，1+λ）為方向向量的直線l₁與經過點B（2，0），且以（1+λ，-3λ）為方向向量的直線l₂相交于點P，其中λ∈R．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點M、N，且滿足|BM|=|BN|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對λ進行討論，即可求點P的軌跡C的方程；
（2）假設存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點M、N，且滿足|BM|=|BN|，求出線段MN的中點M的坐標，利用M在橢圓C的內部，在直線l上，即可求得結論．
解答：解：（1）當λ≠0且λ≠-1時，直線l₁：，直線l₂：y=
消參可得①
當λ=0時，直線l₁：x=-2，直線l₂：y=0，其交點為（-2，0），適合①；
當λ=-1時，直線l₁：y=0，直線l₂：x=2，其交點為（2，0），適合①；
∴點P的軌跡C的方程為；
（2）假設存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且滿足|BM|=|BN|．
令線段MN的中點M（x，y），則BM垂直平分MN
∵，，
∴兩式相減可得，=k②
∵BM⊥MN，∴③
由②③可得
∴M（-1，）
∵M在橢圓C的內部，故
∴|k|＞1
∵M（-1，）在直線l上，
∴，
∴|m|=|k+|≥，當且僅當|k|=時取等號
∴存在直線l滿足條件，此時m的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）．
點評：本題考查軌跡方程，考查存在性問題的研究，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．