Question

（2008•上海模擬）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，，滿足f（a•b）=af（b）+bf（a），f(2)=2，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)
考查下列結(jié)論：
（1）f（0）=f（1）；
（2）f（x）為偶函數(shù)；
（3）數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（4）

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=e．
其中正確的是

①③④

．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1，可得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正確；
（2）用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函數(shù)，
（3）把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數(shù)列，通過第二步整理，可得第三個結(jié)論正確．
（4）b_n=n，利用極限的定義可求

解答：解：對于（1），∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，故（1）正確；
對于（2），∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函數(shù)，故（2）錯；
對于（3），f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴b_n=n，，∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ，∴a_n=2ⁿ
故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，故（3）正確；
對于（4），b_n=n，

lim

n→∞

(1+

1

bn

)bn=

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=e，故（4）正確．

點評：本題的考點是數(shù)列與函數(shù)的綜合．考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，主要涉及了函數(shù)的賦值法，等比數(shù)列的定義及通項公式的計算等知識．這種題做起來易出錯，使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題