Question

（2012•無為縣模擬）已知定義在R上的函數f（x）、g（x）滿足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有窮數列

f(n)

g(n)

（n∈N^*）的前n項和等于

31

32

，則n等于 （　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：利用導數研究函數的單調性得到a的范圍，再利用等比數列前n項和公式即可得出．

解答：解：∵[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，f^′（x）g（x）＜f（x）g^′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，即函數

f(x)

g(x)

=ax單調遞減，∴0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即a+a-1=

5

2

，即a+

1

a

=

5

2

，解得a=2（舍去）或a=

1

2

．
∴

f(x)

g(x)

=(

1

2

)x，即數列

f(n)

g(n)

=(

1

2

)n是首項為a1=

1

2

，公比q=

1

2

的等比數列，
∴Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n，
由1-(

1

2

)n=

31

32

解得n=5，
故選B．

點評：熟練掌握導數研究函數的單調性、等比數列前n項和公式是解題的關鍵．