Question

設函數(shù)，其中mÎ R，集合M={m|m＞1}．

(1)求證：當mÎ M時，f(x)對所有實數(shù)x都有意義；反之，如果f(x)對所有實數(shù)x都有意義，那么mÎ M．

(2)當mÎ M時，求函數(shù)f(x)的最小值．

(3)求證：對每一個mÎ M，函數(shù)f(x)的最小值都不小于1．

Answer 1

答案：略
解析：

本題中所給函數(shù)是二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)，因此在解答過程中應注意二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用． (1)證明：當mÎ M時，有m＞1，從而對所有實數(shù)x，都有：． ∴當mÎ M時，函數(shù)對所有的實數(shù)x都有意義． 反之，如果f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則需對所有實數(shù)x，恒大于0， ∵， ∴應使，即． 由于，又必須m－1＞0，即m＞1． 從而mÎ M． (2)∵在(0，＋∞)上是增函數(shù)，由(1)可知，當mÎ M時，， ∴． 又當x=2m時，． ∴當mÎ M時，f(x)的最小值為． (3)當mÎ M時，有m＞1，∴m－1＞0． 此時，且在m=2時，取“=”號． ∴．∴， 即對于每一個mÎ M，函數(shù)f(x)的最小值都不小于1． 在解答第(1)問的過程中，兩次使用配方法，即和．在解答第(3)問時，也用了配方法，即．用配方法是解決二次函數(shù)問題的重要手段．