Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥側面BB₁CC₁．
（1）求直線C₁B與底面ABC所成角的正弦值；
（2）在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁（要求說明理由）．
（3）在（2）的條件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）求出平面的法向量與直線所在的向量，利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角即可．
（2）根據點的特殊位置設出點的坐標為E（1，y，0），再利用向量的基本運算證明兩個向量垂直即可證明兩條直線相互垂直．
（3）結合題意求出兩個平面的法向量求出兩個法向量的夾角，再轉化為兩個平面的二面角即可．

解答：解：如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，則B（0，0，0），C₁（1，2，0），B₁（0，2，0）
（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC的法向量

BB1

=(0，2，0)，又

BC1

=(1，2，0)，
設BC₁與平面ABC所成角為θ
，則sinθ=|cos＜

BB1

，

BC1

＞|=

2 5

5

．
（2）設E（1，y，0），A（0，0，z），則

EB1

=(-1，2-y，0)，

EA

=(-1，-y，z)
∵EA⊥EB₁，
∴

EB1

• 

EA

=1-y(2-y)=0
∴y=1，即E（1，1，0）所以E為CC₁的中點．
（3）∵A（0，0，

2

），則

AE

=(1，1，-

2

)，

B1E

=(1，-1，0)，
設平面AEB₁的法向量m=（x₁，y₁，z₁），
則

m • AE =0  m • B1E =0

∴

x1+y1- 2  z1=0 x1- y1=0

，
取

n

=(1，1，

2

)，
∵

BE

=(1，1，0)，

BE

•

B1E

=1-1=0
∴BE⊥B₁E，又BE⊥A₁B₁∴BE⊥平面A₁B₁E，
∴平面A₁B₁E的法向量

BE

=(1，1，0)，
∴cos＜

n

，

BE

＞ =

2

2

，
∴二面角A-EB₁-A₁為45°．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征以便距離空間直角坐標系，進而結合向量的基本運算計算空間角證明線面垂直，但向量法對運算能力有較高的要求．