Question

設橢圓的右焦點為F₁，直線與x軸交于點A，若（其中O為坐標原點）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點A，F₁的坐標，利用，即可求得橢圓的方程；
（2）方法1：設圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，則==，從而求的最大值轉化為求的最大值；
方法2：設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x，y），根據E，F的中點坐標為（0，2），可得 
所以=．根據點E在圓N上，點P在橢圓M上，可得==，利用，可求的最大值；
方法3：①若直線EF的斜率存在，設EF的方程為y=kx+2，由，解得，再分別求得、，利用，可求的最大值；②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為x=0，同理可求
的最大值．
解答：解：（1）由題設知，，，…（1分）
由，得．…（3分）
解得a²=6．
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（2）方法1：設圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，
則 …（6分）
=…（7分）
=．…（8分）
從而求的最大值轉化為求的最大值．…（9分）
因為P是橢圓M上的任意一點，設P（x，y），…（10分）
所以，即．…（11分）
因為點N（0，2），所以．…（12分）
因為，所以當y=-1時，取得最大值12，…（13分）
所以的最大值為11，…（14分）

方法2：設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x，y），
因為E，F的中點坐標為（0，2），所以 …（6分）
所以…（7分）=（x₁-x）（-x₁-x）+（y₁-y）（4-y₁-y）==．…（9分）
因為點E在圓N上，所以，即．…（10分）
因為點P在橢圓M上，所以，即．…（11分）
所以==．…（12分）
因為，所以當y=-1時，．…（14分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設EF的方程為y=kx+2，…（6分）
由，解得．…（7分）
因為P是橢圓M上的任一點，設點P（x，y），
所以，即．…（8分）
所以，…（9分）
所以．…（10分）
因為，所以當y=-1時，取得最大值11，…（11分）
②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨設，E（0，3），F（0，1）．…（12分）
因為P是橢圓M上的任一點，設點P（x，y），
所以，即．
所以，．
所以．
因為，所以當y=-1時，取得最大值11，…（13分）
綜上可知，的最大值為11，…（14分）
點評：本題以向量為載體，考查橢圓的標準方程，考查向量的數量積，考查配方法求函數的最值，綜合性強，屬于中檔題．