Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（Ⅰ）求異面直線OC與MD所成角的大��；
（Ⅱ）求點M到平面OCD的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）設線段AC的中點為E，連接ME，
則∠EMD為異面直線OC與MD所成的角（或其補角）
由已知，可得DE=，EM=，MD=，
∵
∴△DEM為直角三角形
∴tan∠EMD==，
∴∠EMD=arctan
所以異面直線OC與MD所成角的大小arctan
（Ⅱ）作MF⊥OD于F，
∵OA⊥CD且AD⊥CD，
∴CD⊥平面ADO
∴CD⊥MF
∴MF⊥平面OCD
所以點M到平面OCD的距離ME=
分析：（Ⅰ）求異面直線所成的角，可以做適當的平移，把異面直線轉化為相交直線，然后在相關的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時主要是根據中位線和中點條件，做出角，再求出角．
（Ⅱ）可以先轉化，當由點向平面引垂線發生困難時，可利用線面平行或面面平行轉化為直線上（平面上）其他點到平面的距離．
點評：本題主要考查直線與直線的位置關系、異面直線所成角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法解決立體幾何問題的能力．