Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期計(jì)算公式求其最小正周期即可
（2）先求內(nèi)層函數(shù)2x+

π

4

的值域，在將其看做整體，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的最值即可

解答：解：f（x）=sinxcosx+cos²x=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
（1）∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]
∴f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

∈[0，

2 +1

2

]
∴函數(shù)f（x）的最大值為

2 +1

2

，最小值為0

點(diǎn)評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角變換公式在解決三角化簡和求值問題中的作用，復(fù)合函數(shù)最值的求法，整體代入的思想方法