Question

【題目】已知命題：“雙曲線任意一點到直線的距離分別記作，則為定值”為真命題.

（1）求出的值.

（2）已知直線 關于y軸對稱且使得上的任意點到的距離滿足為定值，求的方程.

（3）已知直線是與（2）中某一條直線平行（或重合）且與橢圓交于兩點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或者；（3）.

【解析】

（1）設，利用點在雙曲線上和點到直線的距離公式可求為定值且定值為.

（2）設，設為橢圓任意點，利用點到直線的距離公式可求，取，可計算出的值，再驗證對任意的都成立，從而可求直線的方程.

（3）設直線，，聯立直線方程和橢圓方程，可證，對該式兩邊平方后再利用點在橢圓上化簡可得，從而，根據后兩個結論可證，利用基本不等式可求的最大值.

（1）設，則

又到直線距離分別為：

，所以，

故為定值且定值為.

（2）設，設為橢圓任意點，

則到的距離分別為：

，

所以

取，，因為為定值，

故，

所以， 故，

即或，

又當或時，對橢圓上任意的，

總有，該值為定值.

故的方程為或者.

即或者.

（3）設直線，，

由可得，

又

.

所以，即，

整理得到，所以，

故.

因為，

故，當且僅當時等號成立，

所以的最大值為.