【題目】已知函數
，其中
為自然對數的底數．
（Ⅰ）討論函數
的單調性；
（Ⅱ）設
，證明：函數有兩個零點
，且
．
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見證明
【解析】
(Ⅰ)先求
的導數，對參數a進行討論，可得的單調性；
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知當
時，的單調性，可得在
上有一個零點
，同時在
上有一個零點
，可得
，可得結論.
解：（Ⅰ）
當
時，當
時，
，故單調遞增
當
時，
，故單調遞減
∴在
上單調遞減，在
上單調遞增
當
時，
，故在
上單調遞增
當
時，當
時，，故單調遞增
當
時，，故單調遞減
∴在
上單調遞減，在
上單調遞增
∴綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增
當時，，故在上單調遞增
當
時，在上單調遞減，在上單調遞增
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增
∴至多有兩個零點
∵
∴
又∵
∴由零點定理知，在上有一個零點
又∵在上單調遞減，在上單調遞增
∴當
時，取最小值
∵
∴
設
則
，故
在
上單調遞增
∴當時，
∴
∴由零點定理知，在上有一個零點
∴有且僅有兩個零點
，且
∴
，即
∴
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從1，3，5，7，9中任取3個數宇，與0，2，4組成沒有重復數字的六位數，其中偶數共有（ ）
A.312個B.1560個C.2160個D.3120個
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【題目】（請寫出式子在寫計算結果）有4個不同的小球，4個不同的盒子，現在要把球全部放入盒內：
（1）共有多少種方法？
（2）若每個盒子不空，共有多少種不同的方法？
（3）恰有一個盒子不放球，共有多少種放法？
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【題目】一輛汽車從起點
出發開到終點
（不允許反向行駛），
的距離為2007．在沿途設立了一些車站，所有到的距離是100的倍數的地方都設立了車站（這些車站的集合設為
），所有到的距離是223的倍數的地方也都設立了車站（這些車站的集合設為
）．該車在行駛途中的每次停車，要么在距其最近的集合中的車站停車，要么在距其最近的集合中的車站停車．則由駛到的所有可能的停車方式的數目
在區間（ ）中．
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】對于給定數列
，如果存在實常數
使得
對于任意
都成立，我們稱數列是“M類數列”．
（1）若
，數列
是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數；若不是，請說明理由；
（2）證明：若數列
是“M類數列”，則數列
也是“M類數列”．
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點
，
，Q為平面上的動點，且
，線段
的中垂線與線段
交于點P．
求
的值，并求動點P的軌跡E的方程；
若直線l與曲線E相交于A，B兩點，且存在點
其中A，B，D不共線
，使得
，證明：直線l過定點．
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【題目】在數列
中，若
是正整數，且
，…，則稱為“絕對差數列”.
（1）舉出一個前5項不為零的“絕對差數列”（只要求寫出前10項）；
（2）若“絕對差數列”中，
，數列
滿足
，
，…，分別判斷當
時，
與
的極限是否存在？如果存在，求出其極限值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在等比數列{an}中，
＝2，，
＝128，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{
}為等差數列．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）求數列{bn}的前n項和．
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