Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，點E是SC的中點，SA=4，AB=2．
（理）（1）求直線ED與直線SB所成的角；
（2）求點A到平面SBD的距離．
（文）（1）求直線SC與平面SAD所成的角；
（2）求直線ED與直線SB所成的角．

Answer 1

分析：（理）（1）取BC的中點為F，連接EF、DF，可得EF∥SB，即可得到∠FED為所求，再利用解三角形的有關知識求出答案即可．
（2）設點A到平面SBD的距離為h，根據題中的條件可得S_△SBD=6，S_△ABD=2，再根據V_A-BDS=V_S-ABD，可得點A到平面SBD的距離．
（文）（1）由題意可得：CD⊥AD，又因為SA⊥面ABCD，所以AD⊥SA，所以CD⊥平面SAD，所以∠CSD為所求，再利用解三角形的有關知識求出答案．
（2）取BC的中點為F，連接EF、DF，可得EF∥SB，即可得到∠FED為所求，再利用解三角形的有關知識求出答案即可．

解答：（理）解：（1）取BC的中點為F，連接EF、DF，
因為點E是SC的中點，
所以EF∥SB，所以“直線ED與直線SB所成的角”與“直線ED與直線EF所成的角”相等或者互補，即∠FED為所求．
因為SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2，

所以SB=2

5

，所以EF=

5

．
又因為ABCD是正方形，并且AB=2，
所以DF=

5

．
因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，所以ED=

SC

2

，
因為ABCD是正方形，并且AB=2，SA=4，
所以SC=2

6

，所以ED=

6

．
在△EFD中，由余弦定理可得：cos∠FED=

30

10

，
所以直線ED與直線SB所成的角為arccos

30

10

．
（2）設點A到平面SBD的距離為h，
因為SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2，
所以SB=SD=2

5

，
因為ABCD是正方形，并且AB=2，
所以BD=2

2

，所以S_△SBD=6，S_△ABD=2，
因為V_A-BDS=V_S-ABD，
所以

1

3

×S△SBD×h=

1

3

×S△ABD×|SA|，解得：h=

4

3

，
所以點A到平面SBD的距離為

4

3

．
（文）解：（1）因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，
所以CD⊥AD，
又因為SA⊥面ABCD，即AD⊥SA，
因為AD∩SA=A，
所以CD⊥平面SAD，
所以∠CSD為所求．
因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2．
所以CD=2，SD=2

5

，
所以tan∠CSD=

|SD|

|CD|

=

5

，
所以直線SC與平面SAD所成的角為arctan

5

．
（2）取BC的中點為F，連接EF、DF，
因為點E是SC的中點，
所以EF∥SB，所以“直線ED與直線SB所成的角”與“直線ED與直線EF所成的角”相等或者互補，即∠FED為所求．
因為SA⊥面ABCD，SA=4，AB=2，
所以SB=2

5

，所以EF=

5

．

又因為ABCD是正方形，并且AB=2，
所以DF=

5

．
因為四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，所以ED=

SC

2

，
因為ABCD是正方形，并且AB=2，SA=4，
所以SC=2

6

，所以ED=

6

．
在△EFD中，由余弦定理可得：cos∠FED=

30

10

，
所以直線ED與直線SB所成的角為arccos

30

10

．

點評：本題主要考查線線角與線面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵；而求點到平面的距離，一般運用等體積法進行求解．也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角、空間距離以及判斷空間中的點線面的位置等問題．