Question

在△ABC中，B(10，0)，直線BC與圓Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切點為線段BC的中點．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點A的坐標為       ．

Answer 1

(0，15) 或 (－8，－1)

解析試題分析：設BC的中點為D，設點A（x₁，y₁ ）、C（x₂，y₂），則由題意可得ΓD⊥BC，且D點坐標為，因為D為切點，所以圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．設BC的方程為即．根據點到直線的距離公式有，解得或．當時，有，解得，當時，有 ，解得再由三角形的重心公式可以求得，或，所以點A的坐標為（0，15）或（-8，-1）．
考點：本小題主要考查直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、三角形的重心公式等.
點評：直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓半徑，這個性質經常用到；另外，此類題目一般運算量較大，要仔細運算，不要漏解.