Question

（2013•奉賢區一模）設函數f(x)=

3

2

sin2ωx+cos2ωx，其中0＜ω＜2；
（Ⅰ）若f（x）的最小正周期為π，求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，求ω的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式將f（x）=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

化為：f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，T=π，可求得ω，從而可求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）由f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，可得到：2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z，從而可求得ω=

3

2

k+

1

2

，又0＜ω＜2，從而可求得ω．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

…（2分）
=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

．…（3分）
∵T=π，ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1．…（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，…（5分）
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，…（6分）
所以f（x）的單調增區間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）∵f(x)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

的一條對稱軸方程為

π

3

，
∴2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z．…（9分）
∴ω=

3

2

k+

1

2

．…（11分）
又0＜ω＜2，
∴-

1

3

＜k＜1．
∴k=0，
∴ω=

1

2

．…（13分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數的單調性與對稱軸的應用，考察學生分析轉化的能力，屬于中檔題．