Question

已知函數f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），若過函數f（x）圖象上一點P（1，a）的切線與直線x-y+b=0垂直，求a的值．

Answer 1

分析：由f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），得f′（x）=3x²-2（k²-1）x，由此求出過函數f（x）圖象上一點P（1，a）的切線的斜率k=3-2（k²-1），再由過函數f（x）圖象上一點P（1，a）的切線與直線x-y+b=0垂直，解得k²=3．由此求出f（x），把P（1，a）代入，求得a．

解答：解：∵f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），
∴f′（x）=3x²-2（k²-1）x，
∴過函數f（x）圖象上一點P（1，a）的切線的斜率k=f′（1）=3-2（k²-1），
∵過函數f（x）圖象上一點P（1，a）的切線與直線x-y+b=0垂直，
∴3-2（k²-1）=-1，解得k²=3．
∴f（x）=x³-2x²-1，
把P（1，a）代入，得a=1-2-1=-2．

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線互相垂直的條件的合理運用．