Question

【題目】已知：函數f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定義域為（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵對任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）
f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），
∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函數；
（Ⅲ）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），
∴當a∈（0，1）時，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．
當a∈（1，+∞）時，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）
【解析】（Ⅰ）利用對數函數的性質列出不等式求解函數的定義域．（Ⅱ）利用函數的奇偶性的定義判斷即可．（Ⅲ）利用對數函數的單調性求解不等式即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇偶性和對數的運算性質的相關知識點，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；①加法：②減法：③數乘：④⑤才能正確解答此題．