Question

如下圖示，正三棱臺的上、下底面邊長分別為3 cm和6 cm，高是cm．求：

(1)三棱臺的側棱長；

(2)斜高；

(3)側棱與底面所成的角的正切值；

(4)側面與底面所成的角；

(5)側面積．

Answer 1

答案：
解析：

設O1、O分別是上、下底面中心，則O1O＝cm． 　　連結A1O1，并延長交B1C1于點D1；連結AO，并延長交BC于點D． 　　過A1作A1F⊥AD于點F，作D1E⊥AD于點E． 　　(1)在Rt△A1AF中，A1F＝cm，AF＝AO－A1O1＝(6－3)＝(cm)， 　　∴AA1＝(cm)． 　　(2)在Rt△D1DE中，D1E＝，DE＝DO－D1O1＝(6－3)＝(cm)， 　　∴斜邊上的高D1D＝(cm)． 　　(3)∵A1F⊥底面ABC， 　　∴∠A1AF為側棱與底面所成的角． 　　∴tan∠A1AF＝． 　　(4)方法一：∵D1D⊥BC，AD⊥BC， 　　∴∠D1DA為側面與底面所成二面角的平面角． 　　∴tan∠D1DA＝．∴∠D1DA＝60°． 　　方法二：(還臺為錐)設棱錐的高為h，利用OA＝2OD， 　　得tan∠D1DE＝＝2tan∠A1AF＝． 　　(5)方法一：S側＝(3×3＋3×6)×＝(cm2)． 　　方法二：S側＝＝2(S下－S上)＝2×(62－32)＝(cm2)． 　　思路分析：利用圖中的直角三角形與直角梯形進行求解．

提示：

正棱錐、正棱臺的問題可轉化為直角三角形問題，使高、斜高、斜高在底面上的射影，側棱、側棱在底面上的射影，底面邊長之半，邊心距，外接圓半徑及側棱和底面所成的角，側面和底面所成的二面角等元素轉化為直角三角形的邊和角． 　　“還臺體為錐體”有利于整體上把握本章內容和公式．對正棱錐、正棱臺，若側面與底面所成角為α，則可利用公式S正棱錐側＝，S正棱臺側＝．