Question

已知不等式

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥16對任意θ∈R且θ≠kπ，θ≠kπ+

π

2

，(k∈Z）恒成立，則正實數m的最小值為：

 

．

Answer 1

分析：先由柯西不等式得：（

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

）（sin²θ+cos²θ）≥（1+

m+1

）² 即

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥（1+

m+1

）²，再結合題中條件得出：（1+

m+1

）²≥16，從而得出正實數m的最小值．

解答：解：由柯西不等式得：
（

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

）（sin²θ+cos²θ）≥（1+

m+1

）²
 即

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥（1+

m+1

）²
∵不等式

1

sin2θ

+

m+1

cos2θ

≥16對任意θ∈R且θ≠kπ，θ≠kπ+

π

2

，(k∈Z）恒成立，
∴（1+

m+1

）²≥16，
∴m≥8
則正實數m的最小值為8
故答案為：8．

點評：本小題主要考查柯西不等式、恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．