Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標準采用世衛組織設定的最寬限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米及其以上空氣質量為超標．
某試點城市環保局從該市市區2011年全年每天的PM2.5監測數據中隨機抽取6天的數據作為樣本，監測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉），若從這6天的數據中隨機抽出2天．
（Ⅰ）求恰有一天空氣質量超標的概率；
（Ⅱ）記ξ表示兩天空氣中空氣質量為二級的天數．求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（ I）6天中有2天空氣質量超標，4天不超標，可得所求概率為p=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

，計算即可；
（Ⅱ）由莖葉圖可知，6天中有3天空氣質量為二級，ξ的取值有0，1，2，分別計算概率，可得分布列，進而可得期望，也可從超幾何分布的角度求期望；

解答：解：（ I）由莖葉圖可知：6天中有2天空氣質量超標，4天不超標，
故恰好有一天超標的概率為p=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

；
（Ⅱ）由莖葉圖可知，6天中有3天空氣質量為二級，ξ的取值有0，1，2，
可得P(ξ=0)=

C 0 3 • C 2 3

C 2 6

=

1

5

；P(ξ=1)=

C 1 3 • C 1 3

C 2 6

=

3

5

；P(ξ=2)=

C 2 3 • C 0 3

C 2 6

=

1

5

；
故分布列如下表：

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

∴期望值Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1（天）
方法二：ξ服從參數為N=2，M=3，n=2的超幾何分布，
∴Eξ=n×

M

N

=2×

3

6

=1（天）

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及期望和莖葉圖，屬中檔題．