Question

已知＝（c，0），＝（n，n），||的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：

①||＝||（a＞c＞0）；

②＝λ（其中＝（,t)，λ≠0，t∈R）；

③動點P的軌跡C經過點B（0，-1）.

（1）求c的值；

（2）求曲線C的方程；

（3）是否存在方向向量為a₀＝（1，k）（k≠0）的直線l，使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且||＝||？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:（1）解法一：||=，當n=時，||_min==1，所以c=.

解法二：設G（x，y），則G在直線y=x上，所以||的最小值為點F到直線y=x的距離，即=1，得c=.                                            

（2）∵=λ(λ≠0),∴PE垂直于直線x=又||=||（a＞c＞0）,∴點P在以F為焦點，x=為準線的橢圓上.設P（x，y），則有|-x|，將點B（0，-1）代入，解得a=，∴曲線C的方程為+y²=1.                                                                   

（3）假設存在方向向量為a₀=（1，k）（k≠0）的直線l滿足條件,則可設l：y=kx+m（k≠0），與橢圓+y²=1聯立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0.由判別式Δ＞0，可得m²＜3k²+1.

                                                                            ①

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），由||=||，則有BP⊥MN.韋達式定理代入k_BP=-，可得到m=.②                             

聯立①②，可得到k²-1＜0，∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k＜1.

即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且||=||.