Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+xc+d（b、c、d為常數(shù)），當k∈（-∞，0）∪（4，+∞）時，f（x）-k=0只有一個實根，當k∈（0，4）時，f（x）-k=0有3個相異實根，現(xiàn)給出下列4個命題；
①函數(shù)f（x）有2個極值點；
②函數(shù)f（x）有3個極值點；
③f（x）=4和f′（x）=0有一個相同的實根；
④f（x）=0和f′（x）=0有一個相同的實根；
其中正確命題的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由已知中f（x）=x³+bx²+cx+d，當k＜0或k＞4時，f（x）-k=0只有一個實根；當0＜k＜4時，f（x）-k=0有三個相異實根，故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0，逐一分析四個結論的正誤，即可得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+xc+d，∴f′（x）=3x²+2bx+c
由題意，當k∈（-∞，0）∪（4，+∞）時，f（x）-k=0只有一個實根，當k∈（0，4）時，f（x）-k=0有3個相異實根，故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為0，故①正確，②錯誤；
f（x）-4=0與f'（x）=0有一個相同的實根，即極大值點，故③正確；
f（x）=0與f'（x）=0有一個相同的實根，即極小值點，故④正確，
故正確命題的個數(shù)是3個
故選C．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據已知條件，判斷出函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象和性質是解答本題的關鍵．