Question

三角形的周長為31，三邊a，b，c均為整數，且a≤b≤c，則滿足條件的三元數組（a，b，c）的個數為

 

．

Answer 1

分析：由三角形的三邊關系可得

31

3

≤c＜

31

2

，故c=11，12，13，14，15，分別列舉可得（滿足a≤b≤c和三角形的三邊關系即可）

解答：解：因為三邊長分別為a≤b≤c，則a+b=31-c＞c≥

31

3

，
∴

31

3

≤c＜

31

2

，故c=11，12，13，14，15；
分類討論如下：
①當c=11時，b=11，a=9或b=10，a=10；
②當c=12時，b=12，a=7或b=11，a=8或b=10，a=9；
③當c=13時，b=13，a=5或b=12，a=6或b=11，a=7或b=10，a=8或b=9，a=9；
④當c=14時，b=14，a=3或b=13，a=4或b=12，a=5或b=11，a=6或b=10，a=7或b=9，a=8；
⑤當c=15時，b=15，a=1或b=14，a=2或b=13，a=3或b=12，a=4或b=11，a=5或b=10，a=6或b=9，a=7或b=8，a=8；
∴滿足條件的三角形的個數為2+3+5+6+8=24．
故答案為：24

點評：本題涉及分類討論的思想，解答的關鍵是找到三邊的取值范圍及對三角形三邊的理解把握，屬中檔題．