Question

設正實數x，y滿足條件

lg 10x y ≥0 lg xy 10 ≤0 y≥1

，則lg（x²y）的最大值為

2

．

Answer 1

分析：利用對數的運算性質可對約束條件進行變形，再用換元法可將約束條件中各不等式化為整式不等式，畫出可行域后，求出各角點的坐標，代入目標函數可得目標函數的最值．

解答：解：正實數x，y滿足條件

lg 10x y ≥0 lg xy 10 ≤0 y≥1

，
即

lgx-lgy+1≥0 lgx+lgy-1≤0 lgy≥0

，
令a=lgx，b=lgy，
則

a-b+1≥0 a+b-1≤0 b≥0

，
滿足條件的可行域如下圖所示：

當a=-1，b=0時，lg（x²y）=2lgx+lgy=2a+b=-2
當a=1，b=0時，lg（x²y）=2lgx+lgy=2a+b=2
當a=0，b=1時，lg（x²y）=2lgx+lgy=2a+b=1
故lg（x²y）的最大值為2
故答案為：2

點評：本題考查的知識點是簡單的線性規劃，但由于約束條件不是二元一次不等式，故難度較大，解答的關鍵是利用對數的性質及換元法，將其約束條件中各不等式化為整式不等式