Question

求函數(shù)y=x-

3x-2

的值域．

Answer 1

分析：換元：令

3x-2

=t（t≥0），將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=

1

3

t²-t+

2

3

，再結(jié)合函數(shù)的圖象，求二次函數(shù)在[0，+∞）上的最小值，即可得到函數(shù)y=x-

3x-2

的值域．

解答：解：令

3x-2

=t（t≥0），得x=

1

3

（t²+2）
∴y=x-

3x-2

=

1

3

（t²+2）-t=

1

3

t²-t+

2

3

∵

1

3

t²-t+

2

3

=

1

3

（t-

3

2

）²-

1

12

∴y=

1

3

t²-t+

2

3

的最小值為-

1

12

，當且僅當t=

3

2

，即x=

17

12

時，函數(shù)取得最小值
綜上所述，得函數(shù)y=x-

3x-2

的值域為[-

1

12

，+∞）

點評：本題采用換元的方法，求含有根式的函數(shù)的值域，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)值域的求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．