Question

已知等差數列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的兩根，數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n＝1－ b_n.

(1)求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；

(2)記c_n＝a_nb_n，求證：c_n＋1≤c_n.

Answer 1

（1）a_n＝2n－1，b_n＝b₁q^n－1＝（2）證明略

解析:

(1)因為a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的兩根，且數列{a_n}的公差d＞0，

∴a₃＝5，a₅＝9，從而d＝＝2

∴a_n＝a₅＋(n－5)d＝2n－1                   

又當n＝1時，有b₁＝S₁＝1－ b₁，∴b₁＝

當n≥2時，有b_n＝S_n－S_n－1＝(b_n－1－b_n)

∴(n≥2)

∴數列{b_n}是等比數列，且b₁＝，q＝

∴b_n＝b₁q^n－1＝；                           

(2)由(1)知：c_n＝a_nb_n＝，c_n＋1＝

∴c_n＋1－c_n＝≤0   ∴c_n＋1≤c_n.