Question

某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為K米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為12K元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為X米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為[

(512X2+20)X

100

+8]K元，假設座位等距離分布，且至少有四個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為Y元．
（Ⅰ）試寫出Y關于X的函數關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當K=100米時，試確定座位的個數，使得總造價最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，總造價y中包括座位和圓心處的支點間的鋼管的費用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費用，故只需算出座位的個數即知鋼管的個數，將兩項費用表示出來，相加即得y關于x的函數關系式；
（Ⅱ）將k=100米代入函數關系式，利用導數求出最值即得最低的總造價．

解答：解：（Ⅰ）設摩天輪上總共有n個座位，則x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=12k×

k

x

+

k

x

[

(512x2+20)x

100

+8]k=k²（

20

x

+

512x2+20

100

），
定義域{x|0＜x≤

k

4

，

k

x

∈Z}；（6分）
（Ⅱ）當k=100時，0＜x≤25，令y=100（

2000

x

+512x²+20）
f（x）=

2000

x

+512x²，則f′（x）=-

2000

x2

+1024x=0，
∴x³=

1000

512

，∴x=

5

4

，（10分）
當x∈（0，

5

4

）時，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，

5

4

）上單調減，
當x∈（

5

4

，25）時，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（

5

4

，25）上單調增，
∴y_min在x=

5

4

時取到，此時座位個數為

100

5 4

=80個．（15分）

點評：本題考查利用導數解決現實中造價最優的一個應用題，解題的關鍵是正確構建函數，在求最值時要根據函數的形式選擇合適的方法．