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已知定義域為R的函數f(x)=
1
2x+1
-
1
2

(1)判斷其奇偶性并證明;
(2)判斷函數f(x)在R上的單調性,不用證明;
(3)是否存在實數k,對于任意t∈[1,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立.若存在,求出實數k的取值范圍;若不存在,說明理由.
(1)f(x)是奇函數.
證明:∵f(-x)=
1
2-x+1
-
1
2
=
2x
2x+1
-
1
2
=1-
1
2x+1
-
1
2
=
1
2
-
1
2x+1
=-(
1
2x+1
-
1
2
)=-f(x)

∴f(x)是R上的奇函數.(3分)
(2)由(1)可知f(x)是奇函數,
當x=0時,f(x)=0,
當x>0且x越來越大,f(x)越來越小,x→+∞,f(x)越來越來→-
1
2
,
∴f(x)是R上的減函數.(6分)
(3)∵f(x)是R上的奇函數,
∴f(t2-2t)>-f(2t2-k)=f(k-2t2)(9分)
又f(x)是R上的減函數
∴t2-2t<k-2t2
即問題等價于對任意t∈[1,2],k>3t2-2t恒成立(12分)
令g(t)=3t2-2t,
則g(t)在[1,2]上是增函數,
∴g(t)max=g(2)=12-4=8(13分)
∴k>8.
練習冊系列答案
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5
3
5
3

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已知定義域為R的函數f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數在定義域R上的單調性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍;
(4)設關于x的函數F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點,求實數b的取值范圍.

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