Question

某漁業公司年初用98萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用12萬元，以后每年都增加4萬元，每年捕魚收益50萬元．
（1）問第幾年開始獲利？
（2）若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時，以26萬元出售該漁船；②總純收入獲利最大時，以8萬元出售該漁船．問哪種方案更合算？

Answer 1

【答案】分析：（1）由入純收入等于n年的收入減去n年總的支出，我們可得f（n）=50n-[12+16+…+（8+4n）]-98，化簡可得到純收入關于使用時間n的函數解析式，然后構造不等式，解不等式即可得到n的取值范圍．
（2）由（1）中的純收入關于使用時間n的函數解析式，我們對兩種方案分析進行分析比較，易得哪種方案更合算．
解答：解：（1）由題設知每年的費用是以12為首項，4為公差的等差數列．
設純收入與年數的關系為f（n），
則f（n）=50n-[12+16+…+（8+4n）]-98=40n-2n²-98，
由f（n）＞0，
得10-
又∵n∈N*，
∴3≤n≤17．
即從第3年開始獲利．
（2）①年平均收入為40-2×14=12，
當且僅當n=7時，年平均獲利最大，為12萬元/年．
此時，總收益為12×7+26=110（萬元）．
②f（n）=-2（n-10）²+102，∵當n=10時，f（n）_max=102（萬元）．
此時，總收益為102+8=110（萬元）．
由于這兩種方案總收入都為110萬元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．
點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．根據函數圖象或性質，對兩個函數模型進行比較，分析最優解也是函數的主要應用．