Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2，P是側棱AA₁上任意一點．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）判斷直線B₁P與平面ACC₁A₁是否垂直，請證明你的結論；
（3）當BC₁⊥B₁P時，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：1、根據公式求解即可．2、利用空間直角坐標系，根據向量可以證明．3、借用（2）中的坐標系，利用法向量求解．
解答：解：（1），（3分）
（2）建立如圖空間坐標系O-xyz，設AP=a，（4分）
則A，C，B₁，P的坐標分別為；（6分）
∴，
∴B₁P不垂直AC；
∴直線B₁P不可能與平面ACC₁A₁垂直；（8分）

（3），
由BC₁⊥B₁P，得，
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC₁⊥B₁C∴BC₁⊥面CB₁P；
∴是面CB₁P的法向量；（10分）
設面C₁B₁P的法向量為，
由得，（12分）
設二面角C-B₁P-C₁的大小為α，則，
∴二面角C-B₁P-C₁的余弦值大小為．（14分）
點評：本題考查學生的空間想象能力，空間直角坐標系的使用，及二面角的求法，是中檔題．