Question

【題目】已知函數（）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有極大值M，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，分、、三種情況討論導數的符號從而判斷函數的單調性；（2）由(1)知只有當時函數有極大值，求出極大值M將不等式轉化為，利用導數判斷函數的單調性證明成立即可.

（1）.

①當時，在區間單調遞減，在區間單調遞增；

②當時，令，，，

則在區間單調遞增；在區間和單調遞減；

③當時，令，，恒成立，則在上單調遞減.

綜上，當時，在區間單調遞減，在區間單調遞增；

當時，在區間單調遞增，在區間和單調遞減；

當時，在上單調遞減.

（2）由（1）知，當時，在區間單調遞減；在區間單調遞增.

則函數沒有極大值，

當時，在上單調遞減，則函數沒有極大值，

只有當時，在區間單調遞增；在區間和單調遞減，，

要證明，即證：（），

令（），，

設，則（），，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

∴當時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是成立，

從而，（），即.