Question

（2012•瀘州模擬）設函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（I）若函數f（x）在x=2時取得極值，求a的值；
（II）若函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍；
（III）當a∈[3，6]時，不等式f（x）≤1對于任意x∈[-2，2]時恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用函數f（x）在x=2時取得極值，可得f′（2）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ）要使函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實根即可；
（Ⅲ）要求對任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求當x∈[-2，2]時f（x）_max≤1，即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a²在a∈[3，6]的最小值．

解答：解：（I）∵函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0），
∴f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)
∵函數f（x）在x=2時取得極值
∴f′（2）=0
∴3(2-

a

3

)(2+a)=0
∴a=6或a=-2
∵a＞0
∴a=6
當a=6時，f′（x）=3（x-2）（x+6），函數在（-∞，-2），（6，+∞）單調遞增，（-2，6）上單調遞減，故滿足函數f（x）在x=2時取得極值
（Ⅱ）當a＞0時，∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)
由（I）知f（x）在(-∞，-a)，(

a

3

，+∞)上單調遞增，在(-a，

a

3

)上單調遞減；
則要f（x）在[-1，1]上沒有極值點，
則只需f′（x）=0在（-1，1）上沒有實根．
∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，
∴

3(-1- a 3 )(1+a)≤0 3(1- a 3 )(1+a)≤0

∵a＞0，∴a≥3
綜上述可知：a的取值范圍為[3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴

a

3

∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（I）的單調性質知，f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a²=-2（a+1）²+11
∴a=6時，9-4a-2a²的最小值為-87
∴m≤-87

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，函數在某點取得極值的條件，還考查了變量分離的思想方法，屬于中檔題．