Question

已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直，又f（x）在[m，m+1]上單調遞增，則m的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-3]
B．[0，+∞）
C．（-∞，-3）∪（0，+∞）
D．（-∞，-3]∪[0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：先求導函數，然后根據函數在點（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直建立方程組，解之即可得到函數f（x）的解析式，根據f（x）在[m，m+1]上單調遞增，則f′（x）≥0的解集包含區間[m，m+1]，建立不等關系，解之即可．
解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，因為函數在點（-1，2）處的切線恰好與x-3y=0垂直得到切線的斜率為-3，
得到：即
解得：，則f（x）=x³+3x²
f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）≥0解得：x≥0或x≤-2，即x≥0或x≤-2時，f（x）為增函數；
所以[m，m+1]?（-∞，-2]或[m，m+1]?[0，+∞）即m+1≤-2或m≥0，
解得m≤-3或m≥0
故選D．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．