Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，且a≠0），x∈R時，函數f（x）的最小值是f（-1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-1在區間[m，n]（m＜n）上的值域也為[m，n]，求m和n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，且a≠0），x∈R時，函數f（x）的最小值是f（-1）=0，可設f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a，與函數f（x）=ax²+bx+1比較，即可得出f（x）的解析式；
（Ⅱ）先確定g（x）=（x+1）²-1的值域，根據g（x）=f（x）-1在區間[m，n]（m＜n）上的值域也為[m，n]，確定m≥-1，從而可得g（x）=f（x）-1在區間[m，n]上單調增，由此可求m和n的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，且a≠0），x∈R時，函數f（x）的最小值是f（-1）=0．
∴可設f（x）=a（x+1）²=ax²+2ax+a
與函數f（x）=ax²+bx+1比較可得a=1
∴f（x）的解析式為f（x）=（x+1）²；
（Ⅱ）g（x）=（x+1）²-1≥-1
∵g（x）=f（x）-1在區間[m，n]（m＜n）上的值域也為[m，n]，
∴m≥-1
∴g（x）=f（x）-1在區間[m，n]上單調增
∴

(m+1)2-1=m (n+1)2-1=n

∴m，n是方程（x+1）²-1=x的兩根
即m，n是方程x²+x=0的兩根
∵m＜n
∴m=-1，n=0．

點評：本題重點考查函數的解析式，考查函數的單調性與值域，（2）問先確定函數的值域是關鍵．