Question

（2011•西城區一模）已知{a_n}是公比為q的等比數列，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）設{b_n}是首項為2，公差為q的等差數列，其前n項和為T_n．當n≥2時，試比較b_n與T_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，因為{a_n}是等比數列，所以3q²-2q-1=0．由此能求出q的值．
（Ⅱ）當q=1時，b_n=n+1，Tn=

n2+3n

2

，Tn-bn=

n2+n-2

2

＞0．故當q=1時，T_n＞b_n（n≥2）．當q=-

1

3

時，bn=2+(n-1)(-

1

3

)=

7-n

3

，Tn=2n+

n

2

(n-1)(-

1

3

)=

13n-n2

6

，Tn-bn=-

(n-1)(n-14)

6

，由此分類討論能比較b_n與T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得a₁+2a₁q=3a₁q²，…（2分）
因為{a_n}是等比數列，所以3q²-2q-1=0．…（3分）
解得q=1或q=-

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）①當q=1時，b_n=n+1，
Tn=

n2+3n

2

，…（7分）
所以，當n≥2時，Tn-bn=

n2+n-2

2

＞0．
即當q=1時，T_n＞b_n（n≥2）．…（8分）
②當q=-

1

3

時，bn=2+(n-1)(-

1

3

)=

7-n

3

，…（9分）
Tn=2n+

n

2

(n-1)(-

1

3

)=

13n-n2

6

，…（10分）
Tn-bn=-

(n-1)(n-14)

6

，…（12分）
所以，當n＞14時，T_n＜b_n；
當n=14時，T_n=b_n；
當2≤n＜14時，T_n＞b_n．…（13分）
綜上，當q=1時，T_n＞b_n（n≥2）．
當q=-

1

3

時，若n＞14，T_n＜b_n；
若n=14，T_n=b_n；
若2≤n＜14，T_n＞b_n．

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題．對數學思維的要求比較高，要求學生合理運用分類討論思想進行解題．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．