Question

過點P（0，2）的直線L與拋物線y²=2x有且只有一個公共點，則直線L的方程是

x=0，y=2，y=

1

4

x+2

．

Answer 1

分析：設直線L的斜率等于k，則當 k=0時，直線l與其對稱軸平行，所以此時直線與拋物線只有一個公共點；再討論直線與拋物線相切的情況，注意要分斜率存在于斜率不存在兩種情況討論．

解答：解：①設直線L的斜率存在且等于k，
則當 k=0時，直線L的方程為 y=2，滿足直線與拋物線y²=2x僅有一個公共點；
當k≠0時，直線L是拋物線的切線，設直線L的方程為 y=kx+2，
代入拋物線的方程可得：k²x²+（4k-2）x+4=0，
由△=（4k-2）²-4k²•4=0得 k=

1

4

，故切線方程為y=

1

4

x+2．
②當斜率不存在時，直線方程為x=0，經過檢驗可得此時直線也與拋物線y²=2x相切．
故答案為：y=2，或 x=0，或y=

1

4

x+2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，解決本題的關鍵是熟練掌握只有一個公共點的概念，即直線與拋物線相切或者直線與拋物線的對稱軸平行，易錯點在于忽視與對稱軸平行的情況，屬于中檔題．．